Komplexe Zahlen Polardarstellung Beispiel Essay

Was sind komplexe Zahlen?

Hier siehst du eine Übersicht der Zahlenbereiche. Jedes Mal, wenn eine Gleichung in einem gegebenen Zahlenbereich nicht lösbar ist, wird dieser erweitert, so dass die Gleichung lösbar ist.

So ist zum Beispiel die Gleichung $x^2=2$ im Bereich der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ nicht lösbar. Die rationalen Zahlen werden ergänzt um die irrationalen Zahlen zu den reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

Allerdings ist auch im Bereich der reellen Zahlen nicht jede Gleichung lösbar:

$x^2=-1$

besitzt keine reelle Lösung. Wie du sicherlich gelernt hast, gilt: Man kann nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

Doch! Die komplexen Zahlen sind über die imaginäre Zahl $i$ definiert. Es gilt

$i^2=-1$,

also

$i=\sqrt{-1}$.

Darstellung von komplexen Zahlen

Die algebraische Darstellung

Die normale oder algebraische Darstellung, auch kartesische Darstellung genannt, einer komplexen Zahl lautet

$z=a+b\cdot i$.

Dabei wird $a$ als der Realteil Re$(z)$ und $b$ als der Imaginärteil Im$(z)$ bezeichnet.

Das konjugiert Komplexe einer komplexen Zahl ist gegeben durch

$\bar z=a-b\cdot i$.

Das bedeutet, dass bei dem Imaginärteil das Vorzeichen vertauscht wird.

Beispiele:

  • $z_1=1+4i$: Hier ist der Realteil $a=1$ und der Imaginärteil $b=4$.
  • $\overline{z_1}=1-4i$. Der Realteil ist immer noch $a=1$, allerdings ist der Imaginärteil $b=-4$.
  • $z_2=5+2i$ mit dem Realteil $a=5$ und dem Imaginärteil $b=2$.

Die Darstellung in der Gauß'schen Zahlenebene

Komplexe Zahlen können in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt werden. Du kannst dir dies wie Vektoren im $\mathbb{R}^2$ vorstellen. Auf der x-Achse wird der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil der komplexen Zahl angegeben. Das bedeutet, dass eine komplexe Zahl einem Punkt der Gauß'schen Zahlenebene, respektive dem zu diesem Punkt gehörenden Ortsvektor, entspricht.

Dies kannst du für die beiden obigen komplexen Zahlen $z_1=1+4i$ sowie $z_2=5+2i$ hier sehen:

Die Darstellung mit Polarkoodinaten sowie in Exponentialform

Komplexe Zahlen können auch mit Hilfe von Polarkoordinaten oder in Exponentialform dargestellt werden. Schaue dir das Beispiel der komplexen Zahl $z=a+b\cdot i$ an:

Zu jeder komplexen Zahl $z=a+b\cdot i$ gehört ein Winkel $\varphi$, welchen der Vektor $z$ mit der x-Achse einschließt.

Wie du in dem Bild sehen kannst, erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen $a$ und $b$ sowie der Hypotenuse $r=|z|$, der Betrag der komplexen Zahl $z$.

Damit ist

  • $\cos(\varphi)=\frac ar$ oder, äquivalent dazu, $a=r\cdot \cos(\varphi)$. Dies ist der Realteil der komplexen Zahl.
  • $\sin(\varphi)=\frac br$ oder, äquivalent dazu, $b=r\cdot \sin(\varphi)$. Dies ist der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Nun kannst du die komplexe Zahl $z$ schreiben als

$\begin{array}{rcl} z&=&r\cdot\cos(\varphi)+r\cdot \sin(\varphi)\cdot i\\\ &=&r\cdot(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot i) \end{array}$

Dies ist die sogenannte Polarform.

Mit $r=|z|$ sowie dem Winkel $\varphi$ kann eine komplexe Zahl auch in Exponentialform geschrieben werden:

$z=r\cdot e^{i\cdot\varphi}$.

Dabei ist $e\approx2,71828$ die Euler'sche Zahl.

Wie kannst du mit komplexen Zahlen rechnen?

Seien $z_1=a+b\cdot i$ sowie $z_2=c+d\cdot i$ zwei komplexe Zahlen.

Die Addition oder Subtraktion von komplexen Zahlen

Für die Addition oder Subtraktion zweier komplexer Zahlen gilt

$\begin{array}{rcl}z_1\pm z_2&=&(a+b\cdot i)\pm (c+d\cdot i)\\\ &=&(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i \end{array}$

Das bedeutet: Der Realteil und auch der Imaginärteil der Summe (Differenz) zweier komplexer Zahlen ist die Summe (Differenz) der einzelnen Realteile, beziehungsweise der Imaginärteile.

Beispiele:

  • $(1+4i)+(5+2i)=6+6i$
  • $(1+4i)-(5+2i)=-4+2i$

Die Multiplikation von komplexen Zahlen

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen gehst du vor wie beim Multiplizieren zweier Binome:

$\begin{array}{rcl}z_1\cdot z_2&=&(a+b\cdot i)\cdot (c+d\cdot i)\\\ &=&a\cdot c+a\cdot d\cdot i +b\cdot c\cdot i+b\cdot d\cdot i^2\\\ &=&a\cdot c+a\cdot d\cdot i +b\cdot c\cdot i-b\cdot d\\\ &=&a\cdot c-b\cdot d+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot i \end{array}$

Du siehst in der zweiten Zeile, dass $b\cdot d\cdot i2=-b\cdot d\cdot$ ist. Dies liegt gerade an der Definition der imaginären Zahl $i$, für die $i^2=-1$ gilt. Beispiel:

$(1+4i)\cdot(5+2i)=5-8+(2+20)\cdot i=-3+22i$

Die Division von komplexen Zahlen

Zur Division zweier komplexer Zahlen wendest du einen Trick an. Erweitere den Quotienten mit dem konjugiert Komplexen des Nenners:

$\begin{array}{rcl}\frac{z_1}{z_2}&=&\frac{a+b\cdot i}{c+d\cdot i}\\\ &=&\frac{a+b\cdot i}{c+d\cdot i}\cdot \frac{c-d\cdot i}{c-d\cdot i}\\\ &=&\frac{(a+b\cdot i)\cdot(c-d\cdot i)}{(c+d\cdot i)\cdot(c-d\cdot i)}\\\ &=&\frac{ac+bd+(bc-ad)\cdot i}{c^2+d^2}\\\ &=&\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\cdot i \end{array}$

Beispiel:

$\begin{array}{rcl}\frac{1+4\cdot i}{5+2\cdot i}&=&\frac{5+8}{5^2+2^2}+\frac{20-2}{5^2+2^2}\cdot i\\\ &=&\frac{13}{\sqrt{29}}+\frac{18}{\sqrt{29}}\cdot i \end{array}$

Der Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht der Länge des Vektors im Gauß'schen Koordinatensystem. Es ist

$\begin{array}{rcl}|z|&=&\sqrt{z\cdot \bar z}\\\ &=&\sqrt{(a+b\cdot i)\cdot(a-b\cdot i)}\\\ &=&\sqrt{a^2-a\cdot b\cdot i+a\cdot b\cdot i-b^2\cdot i^2}\\\ &=&\sqrt{a^2+b^2} \end{array}$

Beispiele:

  • $|1+4\cdot i|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
  • $|5+2\cdot i|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$

Abschließend siehst du, wie du zwei komplexe Zahlen in der Exponentialform multiplizieren kannst, am Beispiel $z_1=1+4i$ und $z_2=5+2i$:

  • Bestimme den Winkel $\varphi$ zu jeder der beiden komplexen Zahlen:

$\quad~~~\varphi_1=\tan^{-1}\left(\frac41\right)\approx 76^\circ$ und

$\quad~~~\varphi_2=\tan^{-1}\left(\frac25\right)\approx 21,8^\circ$.

$\quad~~~z_1=\sqrt{17}\cdot e^{76i}$ sowie

$\quad~~~z_2=\sqrt{29}\cdot e^{21,8i}$.

  • Nun können die beiden Zahlen multipliziert werden:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}z_1\cdot z_2&=&\sqrt{17}\cdot e^{76i}\cdot \sqrt{29}\cdot e^{21,8i}\\\ &=&\sqrt{493}\cdot e^{97,8i}\end{array}$

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die komplexe Zahlenebene
  • Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
  • Betrag und Argument
  • Polarform
  • Multiplikation und Division in Polarform
  • Multiplikation mit i in der komplexen Zahlenebene

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.
  • Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form a + ib und der Polarform umwandelt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Die komplexe Zahlenebene

Nachdem eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+bi aus einem Realteil \displaystyle a und einem Imaginärteil \displaystyle b besteht, kann man eine komplexe Zahl \displaystyle z wie ein Zahlenpaar \displaystyle (a,b) in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.

Diese geometrische Interpretation der komplexen Zahlen nennt man die komplexe Zahlenebene.


Hinweis: Die reellen Zahlen sind komplexe Zahlen, bei denen der Imaginärteil 0 ist und die daher auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen so sehen, dass man die Dimension der Zahlengerade auf eine Ebene erweitert.

Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.

Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt.Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden und geometrisch interpretiert werden, als ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt.

Beispiel 1


Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i zeichnen wir \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.

Wir haben
  • \displaystyle \overline{z}=2-i\,,
  • \displaystyle \overline{w}=-3+i\,,
  • \displaystyle z-w=2+i-(-3-i)
    \displaystyle \phantom{z-w}{}=5+2i\,,
  • \displaystyle \overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)
    \displaystyle \phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,.

Beachte, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichne alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
  2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.

Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen, haben einen Realteil, der größer als  3. Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen, haben einen Imaginärteil, der zwischen  -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist gestrichelt und dies bedeutet, dass die Punkte auf dieser Gerade nicht zum Gebiet gehören.

B - Der Betrag komplexer Zahlen

Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, da größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.

Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen, ob \displaystyle z=1-i oder \displaystyle w=-1+i am größten ist. Mit dem Begriff Betrag kann man aber auch ein Größenmaß für komplexe Zahlen einführen.


Für eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+ib ist der Betrag \displaystyle |\,z\,| definiert als

\displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}

Wir sehen hier, dass \displaystyle |\,z\,| eine reelle Zahl ist und, dass \displaystyle |\,z\,|\ge 0. Für eine reelle Zahl ist \displaystyle b = 0 und daher ist \displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,| wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt \displaystyle (0,0) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten \displaystyle (a, b), nach dem Gesetz des Pythagoras.

C - Abstand zwischen komplexen Zahlen

Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene können wir den Abstand \displaystyle s zwischen zwei komplexen Zahlen \displaystyle z=a+ib und \displaystyle w=c+id (siehe Bild) mit der Abstandsformel berechnen

\displaystyle s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}


Da \displaystyle z-w=(a-c)+i(b-d), erhalten wir

\displaystyle |\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={} der Abstand zwischen \displaystyle z und \displaystyle w.

Beispiel 3

Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge.

  1. \displaystyle \,\, |\,z\,|=2

    Diese Gleichung beschreibt alle Zahlen, die den Abstand 2 zum Punkt \displaystyle (0,0) haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle (0,0) und dem Radius 2.

  1. \displaystyle \,\, |\,z-2\,|=1

    Diese Gleichung wird von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 gleich 1 ist. Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt \displaystyle z = 2 und dem Radius 1.

  1. \displaystyle \,\, |\,z+2-i\,|\le 2

    Die linke Seite kann als \displaystyle |\,z-(-2+i)\,| geschrieben werden, daher beschreibt die Ungleichung alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl \displaystyle -2+i geringer als 2 ist. Das ist ein Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt \displaystyle -2+i.

  1. \displaystyle \,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl \displaystyle z=2+3i zwischen \displaystyle \frac{1}{2} und \displaystyle 1 ist.

Beispiel 4

Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen:

  1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.

    Die erste Ungleichung gibt an, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
  2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|

    Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedingung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die den Realteil \displaystyle 1/2 haben.

Das gestrichelte Gebiet besteht aus den Punkten, die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen.Die Zahlen, die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.

D - Polarform

Anstatt komplexe Zahlen \displaystyle z=x+iy mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild).


Nachdem \displaystyle \,\cos\alpha = x/r\, und \displaystyle \,\sin\alpha = y/r\, ist \displaystyle \,x = r\cos\alpha\, und \displaystyle \,y= r\sin\alpha. Die Zahl \displaystyle z=x+iy kann also als

\displaystyle z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}

geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl \displaystyle z. Der Winkel \displaystyle \alpha wird das Argument von \displaystyle z genannt und wird geschrieben als

\displaystyle \alpha=\arg\,z\,\mbox{.}

Den Winkel \displaystyle \alpha kann man bestimmen, indem man die Gleichung \displaystyle \tan\alpha=y/x löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und \displaystyle 2\pi oder zwischen \displaystyle -\pi und \displaystyle \pi liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.

Die reelle Zahl \displaystyle r ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von \displaystyle z

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}

Beispiel 5


Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:

  1. \displaystyle \,\,-3

    Da \displaystyle |\,-3\,|=3 und \displaystyle \arg (-3)=\pi, ist \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
  2. \displaystyle \,i

    Da \displaystyle |\,i\,|=1 und \displaystyle \arg i = \pi/2, ist \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
  3. \displaystyle \,1-i

    Der Betrag ist \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel \displaystyle \pi/4 zu der positiven reellen Achse.
    Daher ist das Argument \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4.
    Und daher ist \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
  4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i

    Wir berechnen zuerst den Betrag
    \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

    Wir benennen das Argument \displaystyle \alpha. Das Argument erfüllt die Gleichung

    \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

    und da die Zahl im ersten Quadranten liegt, ist \displaystyle \alpha=\pi/6 und daher

    \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

E - Multiplikation und Division in Polarform

Der große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha) und \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta) kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass

\displaystyle \begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, werden deren Beträge multipliziert und deren Argumente addiert. Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, werden deren Beträge dividiert und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also

\displaystyle |\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{und}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}
\displaystyle \Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ und}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}

Beispiel 6


Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst.

  1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)

    Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform.
    \displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

    Es folgt jetzt, dass

    \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}
  2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)

    Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform.
    \displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align*}

    Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass

    \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 7

  1. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i} wenn\displaystyle \ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr). Gib die Antwort in Polarform an.

    Da \displaystyle \ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) folgt, dass
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}
  2. Vereinfache \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i}, wenn \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right). Antworte in Polarform.

    Wir schreiben \displaystyle i in Polarform und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass die Multiplikation mit i zu einer Drehung des Winkels \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn führt.

Komplexe Zahlen z, iz und z/i, bei denen |z| = 2 und arg z = π/6.Komplexe Zahlen z, iz und z/i, bei denen |z| = 3 und arg z = 7π/4.

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